试题与答案

已知函数f（x）=(x-a)2lnx（其中a为常数）．（Ⅰ）当a=0时，求函数的

来源：www.tikuol.com
题型：解答题

题目：

已知函数f（x）=
(x-a)2
lnx
（其中a为常数）．
（Ⅰ）当a=0时，求函数的单调区间；
（Ⅱ） 当0＜a＜1时，设函数f（x）的3个极值点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．证明：x1+x3＞
2
e
．

答案：

（Ⅰ） f′(x)=

x(2lnx-1)
ln2x

令f'（x）=0可得x=

e
．列表如下：

x（0，1）(1，
e
)
e
(
e
，+∞)
f'（x）--0+
f（x）减减极小值增
单调减区间为（0，1），(1，
e
)；增区间为(
e
，+∞)．------------（5分）

（Ⅱ）由题，f′(x)=

(x-a)(2lnx+
a
x
-1)
ln2x

对于函数h(x)=2lnx+

a
x
-1，有h′(x)=
2x-a
x2

∴函数h（x）在(0，

a
2
)上单调递减，在(
a
2
，+∞)上单调递增

∵函数f（x）有3个极值点x1＜x2＜x3，

从而hmin(x)=h(

a
2
)=2ln
a
2
+1＜0，所以a＜
2
e
，

当0＜a＜1时，h（a）=2lna＜0，h（1）=a-1＜0，

∴函数f（x）的递增区间有（x1，a）和（x3，+∞），递减区间有（0，x1），（a，1），（1，x3），

此时，函数f（x）有3个极值点，且x2=a；

∴当0＜a＜1时，x1，x3是函数h(x)=2lnx+

a
x
-1的两个零点，----（9分）

即有

2ln⁡x1+
a
x1
-1=0
2ln⁡x3+
a
x3
-1=0
，消去a有2x1lnx1-x1=2x3lnx3-x3

令g（x）=2xlnx-x，g'（x）=2lnx+1有零点x=

1
e
，且x1＜
1
e
＜x3

∴函数g（x）=2xlnx-x在(0，

1
e
)上递减，在(
1
e
，+∞)上递增

要证明    x1+x3＞

2
e
⇔x3＞
2
e
-x1⇔g(x3)＞g(
2
e
-x1)

因为g（x1）=g（x3），所以即证g(x1)＞g(

2
e
-x1)⇔g(x1)-g(
2
e
-x1)＞0

构造函数F(x)=g(x)-g(

2
e
-x)，则F(
1
e
)=0

只需要证明x∈(0，

1
e
]单调递减即可．而F′(x)=2lnx+2ln(
2
e
-x)+2，F″(x)=
2(
2
e
-2x)
x(
2
e
-x)
＞0，所F'（x）在(0，
1
e
]上单调递增，

所以F′(x)＜F(

1
e
)=0．

∴当0＜a＜1时，x1+x3＞

2
e
．--------（15分）

考点：函数的单调性与导数的关系函数的极值与导数的关系
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