已知a∈R，函数f(x)=ax+lnx-1，g(x)=(lnx-1)ex+x（1

答案：

（1）∵f(x)=

a

x

+lnx-1，（x＞0），

∴f^′（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

①若a≤0，则，f^′（x）＞0，f（x）在（0，e]上单调递增

②若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，

当x∈（a，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增

③若a≥e，则f^′（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减．

（2）∵g（x）=（lnx-1）e^x+x

∴g′（x）=（

1

x

+1nx-1）e^x+1，由（1）易知，

当a=1时，f（x）在（0，+∞）上的最小值：f（x）_min=f（1）=0

即x₀∈（0，+∞）时，

1

x0

+lnx0-1≥0．又ex0＞0，

∴g′（x₀）≥1＞0，

曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直等价于方程g′（x₀）=0有实数解．

而g′（x₀）＞0，即方程g′（x₀）=0无实数解，故不存在．