已知函数f(x)=lnx，g(x)=12ax2+bx(a≠0)，h(x)=2(x

答案：

（1）当a=-2时，F（x）=lnx+x²-bx，则F′(x)=

1

x

+2x-b，…（1分）

由于F（x）=lnx+x²-bx在定义域（0，+∞）上是增函数，则

1

x

+2x-b≥0，…（2分）

即b≤

1

x

+2x，…（3分）

而

1

x

+2x≥2

2

（当且仅当x=

2

2

时取等号），于是b≤2

2

，

∴实数b的取值范围是(-∞，2

2

]…（4分）

（2）证明：构造函数φ（x）=f（x）-h（x）=lnx-2+

4

x+1

（x＞1）

∵φ′（x）=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0

∴φ（x）在定义域（1，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（1）=0，∴f（x）＞h（x）成立；

（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂，则有lnx1=

1

2

a

x

21

+bx1，lnx2=

1

2

a

x

22

+bx2，点R的横坐标是

x1+x2

2

，M，N的横坐标也是

x1+x2

2

，

曲线C₁在M处的切线的斜率是k1=

2

x1+x2

，…（9分）

曲线C₂在N处的切线的斜率是k2=a×

x1+x2

2

+b，…（10分）

若曲线C₁在M处与C₂曲线在N处的切线相互平行，则k₁=k₂，

∴

2

x1+x2

=a×

x1+x2

2

+b，∴

2(x2-x1)

x1+x2

=a×

x 22 - x 21

2

+b(x2-x1)，

而

2(x2-x1)

x1+x2

=

a

2

x

22

+bx2-(

a

2

x

21

+bx1)=lnx2-lnx1=ln

x2

x1

，即

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

=ln

x2

x1

，…（11分）

令t=

x2

x1

，因为0＜x₁＜x₂，∴t＞1，

2(t-1)

t+1

=lnt(t＞1)，…（12分）

这与第（2）问的结论矛盾，所以不存在点R，使得曲线C₁在M处与曲线C₂在N处的切线相互平行．…（14分）