题目：
已知A是3阶实对称矩阵，α1=(1，-1，-1)T，α2=(-2，1，0)T是齐次方程组Ax=0的解，又(A-6E)α=0，α≠0．
(Ⅰ)求α和二次型xTAx表达式．
(Ⅱ)用正交变换X=Qy化二次型xTAx为标准形并写出所用坐标变换．
(Ⅲ)求(A-3E)6．
答案：
参考答案：由Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2
知λ1=λ2=0是矩阵A的特征值，α1，α2是矩阵A属于特征值λ=0的线性无关的特征向量．
因为Aα=6α，α≠0．所以λ=6是A的特征值．设α=(x1，x2，x3)T，由于实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交．于是
解出α=(1，2，-1)T
由A(α1，α2，α)=(0，0，6α)
得A=(0，0，6α)(α1，α2，α)-1
故xTAx=x21+4x22+x23+4x1x2-2x1x3-4x2x3．
(Ⅱ)令β1=α1．
.
单位化有
那么令
有xTAx=yTΛy=6y23．
(Ⅲ)因为
有
从而 Q-1(A-3E)6Q=(Λ-3E)6=36E
所以 (A-3E)6=Q(36E)Q-1=36E．
