题目：
| 已知f（x）=ln（x+1）． （1）若g(x)=
（2）当x＞0时，求证
（3）当n∈N+且n≥2时，求证：
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答案：
（1）g(x)=
x2-x+ln(x+1)，g′(x)=1 4
x-1+1 2
=1 x+1 x(x-1) 2(x+1)
∴g（x）在[0，1]上单调减，在[1，2]上单调增
∵g（0）=0，g（1）=-
+ln2，g（2）=-1+ln33 4
∴g（x）在[0，2]上的最大值为-1+ln3，最小值为0
（2）证明：函数的定义域为（-1，+∞）
构造函数h（x）=f（x）-x，∴h′（x）=
-1=1 x+1 -x x+1
∴函数在（-1，0）上单调增，在（0，+∞）上单调减
∴在x=0处，函数取得极大值，也是最大值
∴h（x）≤h（0）=0
∴f（x）-x≤0
∵x＞0，∴f(
)＜1 x 1 x
构造函数φ（x）=f（x）-
，∴φ′（x）=x 1+x x (x+1)2
∴函数在（-1，0）上单调减，在（0，+∞）上单调增
∴在x=0处，函数取得极小，也是最小值
∴φ（x）≥φ（0）=0
∴f（x）-
≥0x 1+x
∵x＞0，∴
＜f(1 1+x
)1 x
∴
＜f(1 1+x
)＜1 x 1 x
（3）证明：∵f（x）=ln（x+1），∴f（n）-f（n-1）=f（
）1 n
由（2）知：
＜f(1 1+n
)＜1 n 1 n
∴
＜f(n)-f(n-1)＜1 1+n 1 n
∴
＜f(1)-f(0)＜1，1 1+1
＜f(2)-f(1)＜1 1+2
，1 2
＜f(3)-f(3-1)＜1 1+3
，…，1 3
＜f(n)-f(n-1)＜1 1+n 1 n
叠加可得：
+1 2
+1 3
+…+1 4
＜f(n)＜1+1 n+1
+1 2
+…+1 3 1 n
