题目：
| 已知P（x，y）为函数y=lnx图象上一点，O为坐标原点．记直线OP的斜率k=f（x）． （I）同学甲发现：点P从左向右运动时，f（x）不断增大，试问：他的判断是否正确？若正确，请说明理由：若不正确，请给出你的判断． （Ⅱ）求证：当x＞1时，f（x）＜
（III）同学乙发现：总存在正实数a、b（a＜b），使ab=ba．试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由：若正确，请求出a的取值范围． |
答案：
（I）同学甲的判断不正确．
依题意，f（x）=
，f′(x)=lnx x
，1-lnx x2
当x∈（0，e）时，f′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e]上递增，在[e，+∞）递减．
（Ⅱ）f（x）-
=x-1 x 3 2
-lnx x
=x-1 x 3 2
，lnx-
+x 1 x x
记g(x)=lnx-
+x
，1 x
g′(x)=
-1 x
x1 2
-1 2
x-1 2
=-3 2
x1 2
(3 2
-1)2＜0，x
∴g（x）在（1，+∞）为减函数，
则g（x）=lnx-
+x
＜g(1)=0，1 x
∴f(x)-
＜0，即f（x）＜x-1 x 3 2
．x-1 x 3 2
（III）同学乙的判断正确．
∵lim x→+∞
=0，且x-1 x 3 2
＞0(x＞1)，x-1 x 3 2
又由（2）f(x)＜
，x-1 x 3 2
∴当x→∞时，f（x）→0，
∴总存在正实数a，b，且1＜a＜e＜b，使得f（a）=f（b），即
=lna a
，∴ab=ba，此时1＜a＜e．lnb b
