题目：
设a＞0，已知函数f（x）=ex（ax2+x+1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x2-2bx+4．若对∀x1∈[0，1]，∃x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2）．求实数b的取值范围．
答案：
（Ⅰ）∵f'（x）=ex（ax2+x+1+2ax+1）=ex（x+2）（ax+1）（2分）
令f'（x）＞0，得（x+2）（ax+1）＞0，
∴当a∈(0，
)时，f(x)在(-∞，-1 2
)上递增，在(-1 a
，-2)上递减，在-2，+∞上递增；1 a
当a=
时，f(x)在(-∞，+∞)上递增；1 2
当a∈(
，+∞)时，f(x)在(-∞，-2)上递增，在(-2，-1 2
)上递减，在(-1 a
，+∞)上递增． （6分）1 a
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＞0时，f（x）在[0，1]总是单调增加，
故f（x）在[0，1]的最小值为f（0）=1． （8分）
由于“对∀x1∈[0，1]，∃x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2）成立”等价于
“g（x）在[1，2]上的最小值不大于f（x）在[0，1]上的最小值1”． （9分）
又g（x）=（x-b）2+4-b2，x∈[1，2]，所以，
①当b＜1时，因为[g（x）]min=g（1）=5-2b≤1，此时无解；
②当b∈[1，2]时，因为[g(x)]min=4-b2≤1，解得
≤b≤2；3
③当b∈（2，+∞）时，因为[g（x）]min=g（2）=8-4b≤1，解得b＞2；
综上，b的取值范围是[
，+∞)． （12分）3
