已知函数f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe1-x．（1）求函数

答案：

（1）∵g'（x）=e^1-x1xe^1-x=e^x-1（1-x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，且g（0）=0，g（1）=1＞g（e）=e^2-e函数g（x）在区间（0，e]上的值域为（0，1]…．（3分）

（2）令m=g（x），则由（1）可得m∈（0，1]，原问题等价于：对任意的m∈（0，1]f（x）=m在[1，e]上总有两个不同的实根，故f（x）在[1，e]不可能是单调函数                              …（5分）∵f′(x)=a-

1

x

(1≤x≤e)

当a≤0时，f′(x)=a-

1

x

＜0，在区间[1，e]上递减，不合题意

当a≥1时，f'（x）＞0，在区间[1，e]上单调递增，不合题意

当0＜a≤

1

e

时，f'（x）＜0，在区间[1，e]上单调递减，不合题意

当1＜

1

a

＜e即

1

e

＜a＜1时，在区间[1，

1

a

]上单调递减；在区间[

1

a

，e]上单递增，

由上可得a∈(

1

e

，1)，此时必有f（x）的最小值小于等于0且f（x）的最大值大于等于1，而由f(x)min=f(

1

a

)=2+lna≤0可得a≤

1

e2

，则a∈Φ

综上，满足条件的a不存在．…..（8分）

（3）设函数f（x）具备性质“L”，即在点M处地切线斜率等于k_AB，不妨设0＜x₁＜x₂，则kAB=

y1-y2

x1-x2

=

a(x1-x2)-(lnx1-lnx2)

x1-x2

=a-

lnx1-lnx2

x1-x2

，而f（x）在点M处的切线斜率为f′(x0)=f′(

x1+x2

2

)=a-

2

x1+x2

，故有

lnx1-lnx2

x1-x2

=

2

x1+x2

…..（10分）

即ln

x1

x2

=

2(x1-x2)

x1+x2

=

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

，令t=

x1

x2

∈(0，1)，则上式化为lnt+

4

t+1

-2=0，

令F（t）=lnt+

4

t+1

-2，则由F′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)

＞0可得F（t）在（0，1）上单调递增，故F（t）＜F（1）=0，即方程lnt+

4

t+1

-2=0无解，所以函数f（x）不具备性质“L”．…（14分）