题目：
已知函数f(x)=
（1）如果a＞0，函数在区间(a，a+
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
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答案：
（1）因为f(x)=
，x＞0，则f′(x)=-1+lnx x
，（1分）lnx x2
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；
当x＞1时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值．
因为函数f（x）在区间（a，a+
）（其中a＞0）上存在极值，1 2
所以
解得a＜1 a+
＞11 2
＜a＜1．1 2
（2）不等式f(x)≥
，即为k x+1
≥k，记g(x)=(x+1)(1+lnx) x
，(x+1)(1+lnx) x
所以g′(x)=
=[(x+1)(1+lnx)]′x-(x+1)(1+ln x) x2 x-lnx x2
令h（x）=x-lnx，
则h′(x)=1-
，∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，1 x
从而g'（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，所以[g（x）]min=g（1）=2，
所以k≤2．
