已知数列an满足递推关系式：2an+1=1-an2（n≥1，n∈N），且0＜a1

答案：

（1）∵a2=

1

2

(1-a21)，且a₁∈（0，1），由二次函数性质可知a₂∈（0，

1

2

）．

∵a3=

1

2

(1-

a

22

)及a2∈(0，

1

2

)∴a3∈(

3

8

，

1

2

)．(3分)

（2）证明：①在（1）的过程中可知n=3时，

3

8

＜a3＜

1

2

，

则-

1

8

＜

3

8

-(

2

-1)＜a3-(

2

-1)＜

1

2

-(

2

-1)＜

1

8

，

于是当n=3时，|an-(

2

-1)|＜

1

2n

成立．

②假设在n=k（k≥3）时，|an-(

2

-1)|＜

1

2n

（*）成立，即|ak-(

2

-1)|＜

1

2k

．

则当n=k+1时，|ak+1-(

2

-2)|=|

1

2

-

1

2

a

2k

-(

2

-1)|=

1

2

|ak-(

2

-1)|•|ak+

2

-1|，

其中0＜ak+

2

-1＜2(

2

-1)+

1

2k

＜1(k≥3)

于是|ak+1-(

2

-1)|＜

1

2

|ak-(

2

-1)|＜

1

2k+1

，

从而n=k+1时（*）式得证．

综合①②可知：n≥3，n∈{N}时|an-(

2

-1)|＜

1

2n

．

（3）由|an-(

2

-1)|＜

1

2n

(n≥3)变形为：|

1

2 -1

-

1

an

|＜

1

2n

•

1

( 2 -1)|an|

=

2 +1

2n

•

1

|an|

，

而由

2

-1-

1

2n

＜an＜

2

-1+

1

2n

（n≥3，n∈N）

可知：

2

-1-

1

8

＜an＜

2

+1+

1

8

在n≥3上恒成立，

于是

1

an

＜

1

2 -1- 1 8

，

2 +1

an

＜

2 +1

2 -1- 1 8

＜12，

又∵|an-(

2

-1)|＜

1

2n

，∴|

1

an

-(

2

+1)|＜

12

2n

，

从而原不等式|bn-(

2

+1)|＜

12

2n

（n≥3，n∈N）得证．（14分）