试题与答案

已知m,n∈R,且m+2n=2,则m•2m+n•22n+1的最小值为______

题型:填空题

题目:

已知m,n∈R,且m+2n=2,则m•2m+n•22n+1的最小值为______.

答案:

∵2n=2-m

∴f(m)=m•2m+n•22n+1=m•2m+(2-m)•22-m

令g(m)=m•2m,h(m)=(2-m)•22-m

当m≤0时,h(m)为增函数,且h(m)≥h(0)=8

g(m)=-|m|•2-|m|由于从y=x与y=2x的图象易知,|m|≤2|m|,所以|m|•2-|m|≤1,

g(m)=-|m|•2-|m|≥-1

f(m)=g(m)+h(m)≥-1+8=7

当m≥2时,由g(m)与h(m)关于x=1对称,同上可得f(m)≥7

当 0<m<2时,g(0)=h(2)=0,g(2)=h(0)=8

g'(m)=(mln2+1)2m>0,h'(m)=-[(2-m)ln2+1]22-m<0 且g'(m),h'(m)均为单调递增

当0<m<1时,g'(m)<g'(1)=2(ln2+1),h'(m)<h(1)=-2(2ln2+1),

f′(m)=g'(m)+h'(m)<0单调递减

当1≤m<2时,同理,可得f′(m)=g'(m)+h'(m)≥g'(1)+h'(1)=0单调递增(当m=1时等号成立)

所以当m=1时,f(m)取最小值,

即当m=1,n=

1
2
时,m•2m+n•22n+1的最小值为4

故答案为:4

试题推荐
题型:阅读理解与欣赏

  冬天里一个清新的早晨。年轻的安娜老师正在上课:“名词是一种表示人或事物名称的词类……”

  A“我可以进来吗?”一个穿着破毡靴的小男孩站在门口。他那被风吹红的圆脸蛋好像要裂开一样,眉上凝结了一层白霜。

  “又迟到了,萨乌什金。”安娜的声调带点儿哀伤。萨乌什金赶紧溜到座位上。

  “都懂了吗?……很好,那么给我举几个例子。”

  “猫!”有人结结巴巴地开了头。得到肯定后,学童们继续举例:“窗户、桌子、铅笔……”

  突然,好像从睡梦中醒来一般,萨乌什金站起来,很急切地叫道:“冬天的橡树!”学童们哄堂大笑。

  “为什么要说‘冬天的橡树’呢?‘橡树’就行了。”安娜勉强控制着恼怒。

  “不,橡树算不了什么。冬天的橡树,那才了不起呢!”萨乌什金坚持着。

  “坐下,萨乌什金。这就是你迟到的后果!今天讲的是名词!”安娜愈加气恼。

  “萨乌什金,”下课后安娜说,“你为什么总是迟到?从你家到学校走大路不过半小时!”萨乌什金的家就在他母亲工作的疗养院里,安娜曾家访过。

  “我从来不走大路,我抄小路穿过森林。”

  “那就不大好了。我必须和你母亲谈谈。她三点钟上班?两点钟上 完课我们就一起去吧!”

  B萨乌什金带老师走的那条小路就在学校后面。森林里一片白,只有高大婆娑的桦树的树梢在高处幽然发黑,纤细的枝条伸展在蓝天中

  “是一头驼鹿过去了!”看到安娜对足迹很感兴趣,萨乌什金说,像是 在说着一位善良的熟人,“不过您别怕,驼鹿是很温驯的。”

  森林不断地延伸着,好像这些树、雪堆和寂静没有尽头。突然,树木 们似乎都毕恭毕敬地让开了。在林中空地的中间矗立着一棵高大的橡 树,银装素裹,闪闪发光。它低垂枝丫,像是撑在空地上的一顶帐篷。树 干有三人合抱那么粗壮,树皮深深的皱纹里塞着雪,像是缀着缕缕银丝,叶子几乎没有凋落,穿着雪衣,覆盖着橡树,直到树冠。在斜射的阳光 下,橡树就像是一幅立体感极强的油画。

  “这就是它,冬天的橡树!”萨乌什金奔向橡树,如同见到老朋友。

  安娜显然也被森林的奇观震撼了,她虔敬地向橡树走去。

  “您看!”萨乌什金在树根边挖雪,打开了一个小小的岩洞。一只褐色的青蛙蹲在里面,好像硬纸板做的一样,一动不动。“它在装死,一晒太阳,就跳起来了!”

  他领着老师看自己的小天地。橡树脚下还栖息着许多住户:刺猬、甲壳虫、蜥蜴、瓢虫……

  安娜兴致勃勃地观赏着,忽然听到萨乌什金的惊叫:“哎呀,来不及见我妈妈了!”

  安娜急忙看表,三点一刻!“没什么,”她皱着眉头,“这只是意味着, 近路是不可靠的。你还得走公路。”萨乌什金没吭声。

  C“天啊!”安娜痛苦地感觉到自己的无能为力。她想起了课堂的情景:她的讲解是多么的苍白枯燥,而语言本身是鲜活美妙的;如同丰富的生活

  “萨乌什金,谢谢你带我散步。当然,你可以走这条路。”

  “谢谢您,老师!”萨乌什金脸红了,他很想对老师说,他以后再也不迟到了,但又怕做不到。停了一会,他真诚地说,“老师,我送您……”

  “不用了,我一个人能走得到。”安娜说。

  萨乌什金疑惑地看了看老师,然后从地上拾起一根棍子,递给安娜。“要是驼鹿跳过来,你就抽它的背,它就会跑掉的。最好只是晃一晃,这对它就够了!要不然它受了委屈就会离开林子了。”

  离去不远,安娜回望了橡树一眼。橡树在夕阳下白里泛紫。她看到 树下目送老师的萨乌什金的小身影。安娜突然领悟到,在这个森林中, 最令人惊讶的不是冬天的橡树,而是这个穿着破毡靴的小男孩。 1.通读全文后,请为文章取一个合适的标题。

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2.“冬天的橡树,那才了不起呢!”萨乌什金坚持这样说。冬天的橡树究竟有什么“了不起”的特点?请结合文中的相关描写加以分析。

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3.文末安娜领悟到“在这个森林中,最令人惊讶的不是冬天的橡树,而 是这个穿着破毡靴的小男孩”。“这个穿着破毡靴的小男孩”为什么是“最令人惊讶的”?请联系原文谈谈。

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4.批注,是精读文章常用的一种方法,即从内容、写法、结构、语言等方面给文章加上评语。请你从画线的A、B、C三处中任选一处,自选角度作批注。

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5.安娜未能完成与萨乌什金的母亲面谈的计划,有人说“这是一次失败的家访”,也有人说“安娜此行胜过家访”。对此,你有什么看法?请结合文章内容和你的生活感悟谈谈。

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