已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）

答案：

∵f（x）=（ax²+x-1）e^x，∴f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x-1）e^x=（ax²+2ax+x）e^x，

（1）当a=1时，f（1）=e，f′（1）=4e，故切线方程为y-e=4e（x-1），

化为一般式可得4ex-y-3e=0；

（2）当a＜0时，f′（x）=（ax²+2ax+x）e^x=[x（ax+2a+1）]e^x，

若a=-

1

2

，f′（x）=-

1

2

x²e^x＜0，函数f（x）在R上单调递减，

若a＜-

1

2

，当x∈（-∞，-2-

1

a

）和（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当x∈（-2-

1

a

，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

若-

1

2

＜a＜0，当x∈（-∞，0）和（-2-

1

a

，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当x∈（0，-2-

1

a

）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

（3）若a=-1，f（x）=（-x²+x-1）e^x，可得f（x）-g（x）=（-x²+x-1）e^x-

1

3

x³-

1

2

x²-m，

原问题等价于f（x）-g（x）的图象与x轴有3个不同的交点，

即y=m与y=（-x²+x-1）e^x-

1

3

x³-

1

2

x²的图象有3个不同的交点，

构造函数F（x）=（-x²+x-1）e^x-

1

3

x³-

1

2

x²，

则F′（x）=（-2x+1）e^x+（-x²+x-1）e^x-x²-x

=（-x²-x）e^x-x²-x=-x（x+1）（e^x+1），令F′（x）=0，可解得x=0或-1，

且当x∈（-∞，-1）和（0，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，

当x∈（-1，0）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，

故函数F（x）在x=-1处取极小值F（-1）=-

3

e

-

1

6

，在x=0处取极大值F（0）=-1，

要满足题意只需∈（-

3

e

-

1

6

，-1）即可．

故实数m的取值范围为：（-

3

e

-

1

6

，-1）