题目：
已知函数f（x）=ax+
（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数； （2）用反证法证明f（x）=0没有负数根． |
答案：
（1）由于函数f（x）=ax+
（a＞1）=ax+1-x-2 x+1
，3 x+1
而函数 y=ax（a＞1）和函数y=-
在（-1，+∞）上都为增函数，3 x+1
故函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数．
（2）假设f（x）=0有负数根为x=x0，且x0＜0，则有f（x0）=0，故有ax0+1=
①．3 x0+1
由于函数y=ax+1在R上式增函数，且a0+1=2，∴ax0+1＜2．
由于函数y=
在（-1，+∞）上是减函数，当x0∈（-1，0）时，3 x+1
=3，∴3 0+1
＞3，3 x0+1
∴①根本不可能成立，故①矛盾．
由于由于函数y=
在（-∞，-1）上是增函数，当x0∈（-∞，-1）时，3 x+1
＜0，3 x0+1
而，ax0+1＞1，∴①根本不可能成立，故①矛盾．
综上可得，①根本不可能成立，故假设不成立，故f（x）=0没有负数根．
