题目：
| 已知函数f（x）=x-alnx在x=1处取得极值． （1）求实数a的值； （2）若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在[
（3）若∀x1∈[
|
答案：
（1）由数f（x）=x-alnx，所以f′(x)=1-
，由题意得，f′（1）=0，所以a=1；a x
（2）由（1）得，f（x）=x-lnx．
f（x）+2x=x2+b⇒x-lnx=x2+b⇒x2-3x+lnx+b=0．
设g（x）=x2-3x+lnx+b，则g′(x)=2x-3+
=1 x
．(2x-1)(x-1) x
当x∈(0，
)时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈(1 2
，1)时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，1 2
x∈（1，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
所以g(x)min=g(1)=b-2，g(
)=b-1 2
-ln2，g（2）=b-2+ln2．5 4
方程f（x）+2x=x2+b在[
，2]上恰有两个不相等的实数根，则1 2
，解得g(
)≥01 2 g(1)＜0 g(2)≥0
+ln2≤b＜2；5 4
（3）∀x1∈[
，2]，∃x2∈[1 2
，2]，使f（x1）≥x22+b成立，等价于1 2
x∈[
，2]时，f(x)min≥(x2+b)min．1 2
由f′(x)=
，x-1 x
≤x＜1时f′（x）0．1 2
所以f（x）在[
，1)上位减函数，在（1，2]上为增函数．1 2
所以f（x）min=f（1）=1．
而y=x2+b在x∈[
，2]上的最小值为1 2
+b．1 4
∴
+b≤1，∴b≤1 4
．3 4
∴b的取值范围为(-∞，
]．3 4
