题目：
已知函数f(x)=
（1）求m取值范围； （2）证明：2ln2+3ln3+…+nlnn≤
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答案：
（1）由题意，令g(x)=lnx-
-mx 2
+m-1≤0在x∈[1，+∞）上恒成立m-2 2x
g′(x)=
-1 x
+m 2
=m-2 2x2
…4分-(x-1)(mx+m-2) 2x2
当-1＜
-1≤1时，即m≥1时g′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，∴g（x）在其上递减．2 m
∵gmax=g（1）≤0
∴原式成立．
当
-1＞1，即0＜m＜1时，∵g(1)=0，gmax=g(2 m
-1)＞g(1)=02 m
∴不能恒成立．
综上：m≥1…9分
（2）证明：取m=1，则lnx≤
(x-1 2
)，∴xlnx≤1 x x2-1 2
令x=n，∴nlnn≤n2-1 2
∴2ln2+3ln3+…+nlnn≤
[22+32+..+n2+1-n]1 2
∵12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1) 6
∴2ln2+3ln3+…+nlnn≤
，原不等式成立…12分2n3+3n2-5n 12
