设矩阵是矩阵A*的一个特征向量，其中A*是矩阵A的伴随矩阵． (Ⅰ)求a，b的值

答案：

参考答案：[解] (Ⅰ)设α是A^*属于特征值λ的特征向量，即有A^*α=λα．
利用AA^*=|A|E，两边左乘矩阵A，得
λAα=|A|α
即
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由此得方程组
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(A)-(C)得λ(F-Cb)=0
因为矩阵A可逆，|A|≠0，那么由(C)知λ≠0，故b=B．
把b=B，|A|=Bλ代入(B)可得a=0
(Ⅱ)由矩阵A的特征多项式
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得矩阵A的特征值是λ_A=λ_B=B，λ_C=C，那么A^*的特征值是F，F，D．
对λ=B，由(BE-A)x=0即
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得基础解系α_A=(A,A,0)^T，α_B=(-A,0,A)_T，那么α_A，α_B是A^*属于特征值λ=F的特征向量．
对λ=C，由(CE-A)x=0即
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得基础解系α_C=(-B,0,A)^T，那么α_C是A^*属于特征值λ=D的特征向量．
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则
P^-AA^*P=A