甲曾任乙装修公司经理，2013年3月辞职。5月8日，为获得更多折扣，甲使用其留有的盖

题目：

甲曾任乙装修公司经理，2013年3月辞职。5月8日，为获得更多折扣，甲使用其留有的盖有乙公司公章的空白合同书，以乙公司名义与丙公司订立合同，购买总价15万元的地板，合同约定，6月7日丙公司将地板送至指定地点，乙公司于收到地板后3日内验货，地板经验收合格后，乙公司一次性付清全部价款，对于甲离职一事，丙公司并不知情。

丙公司于约定日期将地板送至指定地点，并要求乙公司付款，乙公司同意付款，并同意将地板以相同价格转卖给甲，但要求甲为该笔货款的支付提供担保。6月8日，丁以其所有的一辆小汽车为甲提供抵押担保，但未办理抵押登记；戊也为甲提供了付款保证，但未约定是连带责任保证还是一般保证，当事人亦未约定丁和戊分别为甲提供担保的实现顺序。

乙公司在未检验地板的情况下，即于6月10日向丙公司付清了货款，但甲未向乙公司付款，乙公司要求戊承担保证责任，戊拒绝，理由有二：第一，乙公司必须先向丁实现抵押权；第二，戊承担一般保证责任，享有先诉抗辩权。

乙公司多次催告，甲仍不付款，8月25日，乙公司宣布解除与甲的地板转卖合同，将地板从甲处取回。次日，乙公司发现丙公司交付的地板约有1／3质量不符合合同约定，遂向丙公司要求退货。

要求：

根据上述内容，分别回答下列问题：

乙公司是否取得了对小汽车的抵押权？并说明理由。