求二元函数z(x，y)=x2+48xy+32y2在区域D=(x，y)|x2+4y2≤

答案：

参考答案：首先求函数z(x，y)在区域D内的驻点及驻点处的函数值，令
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可得z(x，y)在区域D内有唯一驻点(0，0)，且在驻点处z(0，0)=0。
其次，求函数z(x，y)在区域D的边界x²+4y²=25即x²+4y²-25=0上的最大值与最小值，可用拉格朗日乘数法求解，为此引入拉格朗日函数F(x，y，A)=x²+48xy+32y²+λ(x²+4y²-25)，并求它的驻点，即求如下方程组的非零解：
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由代数知识可得方程组①与②存在非零解的充分必要条件是系数行列式
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解出可得λ₁=8，λ₂=-17，对应于λ₁=8方程①与方程②变成3x+8y=0，把它代入方程③可解出两个驻点[*]与[*]对应于λ₂=-17方程①与方程②变成2x-3y=0，把它代入方程③可解出两个驻点P₃=(3，2)与P₄=(-3，-2)。
计算函数z(x，y)在区域D的边界上四个驻点处的函数值可得：[*][*]，把这四个函数值与z(0，0)=0比较，即知二元函数z(x，y)=x²+48xy+32y²在区域D={(x，y)|x²+4y²≤25