设n阶矩阵 (Ⅰ) 求A的特征值和特征向量； (Ⅱ) 求可逆矩阵P，使得P-

答案：

参考答案：(Ⅰ) 由题设，先由特征方程|A-λE|=0求A的特征值，由
[*]
[*]
因此A的特征值为λ₁=1+(n-1)b，λ₂=λ₃=…=λ_n=1-b．
当b≠0时，对应于λ₁=1+(n-1)b，
[*]
不难求出[*]是(A-λ₁E)x=0的基础解系，从而属于λ₁的特征向量为Cξ₁=[*]，其中C为任意非0常数．对应于λ₂=λ₃=……=λ_n=1-b，
[*]
易得出基础解系为
[*]
从而特征向量为C₂ξ₂+C₃ξ₃+…+C_nξ_n，其中C₂，C₃，…，C_n是不全为0的常数．
当b=0时，[*]，从而A-E=0，任意非零向量皆为其特征向量．
(Ⅱ) 由前述已知，当b≠0．A有n个线性无关的特征向量，令
P=(ξ₁，ξ₂，ξ₃，…，ξ_n)，
则[*]
而当b=0时，A=E，任取P为可逆矩阵，都有P^-1AP=E．

解析：[考点提示] 特征值、特征向量、矩阵对角化．