试题与答案

在数列{an}中，a1=1，an+1=2an2+an（n∈N+），（1）求a1，

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题型：解答题

题目：

在数列{an}中，a1=1，an+1=
2an
2+an
（n∈N+），
（1）求a1，a2，a3并猜想数列{an}的通项公式；
（2）证明上述猜想．

答案：

（1）

a1=1．

a2=

2a1
2+a1
=
2
2+1
=
2
3
．

a3=

2a2
2+a2
=
2×
2
3
2+
2
3
=
1
2

（2）猜想an=

2
n+1
．

证明：当n=1时显然成立．

假设当n=k（k≥1）时成立，即ak=

2
k+1

则当n=k+1时，ak+1=

2ak
2+ak
=
2×
2
k+1
2+
2
k+1
=
4
2k+4
=
2
(k+1)+1

所以an=

2
n+1
．

考点：数学归纳法
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