试题与答案

设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，S

来源：www.tikuol.com
题型：解答题

题目：

设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，
Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，…
用数学归纳法证明：公式Sn=
n(2n2+1)
3
对所有的正整数n都成立．

答案：

证明：因为Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，即要证明

12+22+32+…+n2+…+32+22+12=

n(2n2+1)
3
，（A）

（Ⅰ）当n=1，左边=1，右=

1?3
3
=1，故（A）式成立

（Ⅱ）假设当n=k时，（A）式成立，即

12+22+32+…+k2+…+32+22+12=

k(2k2+1)
3

现设n=k+1，在上式两边都加上（k+1）2+k2，得

12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12=

k(2k2+1)
3
+（k+1）2+k2，

=

2k3+k+3(k+1)2+3k2
3

=

k(2k+1)(k+1)+3(k+1)2
3

=

(k+1)(2k2+4k+3)
3

=

(k+1)[2(k+1)2+1]
3
．

即证得当n=k+1时（A）式也成立根据（Ⅰ）和（Ⅱ），

（A）式对所有的正整数n都成立，即证得Sn=

n(2n2+1)
3

考点：数学归纳法
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题型：写作题

书面表达(满分25分)

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　　                                                   Yours，

Lin Tao
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