试题与答案

在△ABC的AB边在平面α内，点C在平面α外，AC和BC与平面α所成的角分别为3

来源：www.tikuol.com
题型：选择题

题目：

在△ABC的AB边在平面α内，点C在平面α外，AC和BC与平面α所成的角分别为30°和45°且平面ABC与平面α成600的锐二面角，则sin∠ACB=（　　）
A．1B．
2
3
3
C．
3
D．1或
1
3

答案：

从C向平面作垂线CD，连接AD，BD，作CE⊥AB，连接DE，

根据三垂线定理，DE⊥AB，设CD=h，∠CBD=45°，BC=

2
h，∠CAD=30°，AC=2CD=2h，

∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=

2
3
h
3
，

根据勾股定理，AE=

2
6
3
h，BE=
6
3
h，AB=AE+BE=
6
h，

∵（

6
h）2=（
2
h）2+（2h）2，即AB2=BC2+AC2，

∴∠C=90°，sinC=1，

另一种是∠B是钝角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=

6
h
3
，

根据余弦定理，AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cosC，

（

6
3
h）2=（2h）2+（
2
h）2-2×2h×
2
hcosC，

cosC=

2
2
3
，

sinC=

1-cos2C
=
1
3
，

故角ACB的正弦值是1或

1
3
．

故选D．

考点：二面角
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