题目：
已知抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是(-
（1）请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式： 伴随抛物线的解析式 ______，伴随直线的解析式 ______； （2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3，则这条抛物线的解析式是 ______； （3）求抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式； （4）若抛物线L与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，x2＞x1＞0，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB=CD．请求出a、b、c应满足的条件． |
答案：
（1）y=-2x2+1，y=-2x+1；
（2）y=x2-2x-3；
（3）∵伴随抛物线的顶点是（0，c），
∵设它的解析式为y=m（x-0）2+c（m≠0），
∵此抛物线过P（-
，b 2a
），4ac-b2 4a
∴
=m•（-4ac-b2 4a
）2+c，b 2a
解得m=-a，
∴伴随抛物线解析式为y=-ax2+c；
设伴随直线解析式为y=kx+c（k≠0），
P（-
，b 2a
）在此直线上，4ac-b2 4a
∴
=-4ac-b2 4a
k+c，b 2a
∴k=
，b 2
∴伴随直线解析式为y=
x+c；b 2
（4）∵抛物线L与x轴有两交点，
∴△1=b2-4ac＞0，
∴b2＞4ac；
∵x2＞x1＞0，
∴x2+x1=-
＞0，x1•x2=b a
＞0，c a
∴ab＜0，ac＞0．
对于伴随抛物线有y=-ax2+c，有△2=0-（-4ac）=4ac＞0，由-ax2+c=0，得x=±
．c a
∴C（-
，0），D（c a
，0），CD=2c a
，c a
又AB=x2-x1=
=(x2-x1)2
=(x1+x2)2-4x1x2
=(-
)2-b a 4c a
，b2-4ac |a|
∵AB=CD，则有：2
=c a
，即b2=8ac，b2-4ac |a|
综合b2=8ac，b2-4ac＞0，ab＜0，ac＞0
可得a、b、c需满足的条件为：
b2=8ac且ab＜0（或b2=8ac且bc＜0）．
