题目：
已知：二次函数y=（n-1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上．
（1）试判断这个二次函数图象的开口方向，并说明你的理由；
（2）求证：函数y=m2x2+2（n-1）x-1的图象与x轴必有两个不同的交点；
（3）如果函数y=m2x2+2（n-1）x-1的图象与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），与y轴相交于点C，且△ABC的面积等于2．求这个函数的解析式？
答案：
（1）∵二次函数y=（n-1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上，
∴n-1≠0，△=4m2-4（n-1）=0．
∴m2=n-1≠0．
又∵m2≥0，∴n-1＞0．
∴这个函数图象的开口方向向上．
（2）∵m2≠0，
∴这个函数是二次函数．△=4（n-1）2+4m2．
∵m2=n-1≠0，∴（n-1）2＞0，m2＞0．
∴△＞0．
∴函数y=m2x2+2（n-1）x-1的图象与x轴必有两个不同的交点．
（3）由题意，得x1+x2=-
，x1x2=-2(n-1) m2
．1 m2
∵m2=n-1，∴x1+x2=-
=-2．2(n-1) m2
而AB=|x1-x2|，点C的坐标为（0，-1）．
∴
|x1-x2|×1=2．1 2
∴|x1-x2|=4．
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2)2+
=16．4 m2
∴m2=
．1 3
∴n-1=
．1 3
∴所求的函数解析式为y=
x2+1 3
x-1．2 3
