试题与答案

设对于不大于54的所有正实数a，如果满足不等式|x-a|＜b的一切实数x，也满足

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题型：解答题

题目：

设对于不大于
5
4
的所有正实数a，如果满足不等式|x-a|＜b的一切实数x，也满足不等式|x-a2|＜
1
2
，求实数b的取值范围．

答案：

由题意可得b＞0是不用求的，否则|x-a|＜b都没解了．

故有-b＜x-a＜b，即a-b＜x＜a+b．

由不等式|x-a2|＜

1
2
可得，-
1
2
＜x-a2＜
1
2
，即 a2-
1
2
＜x＜a2+
1
2
．

第二个不等式的范围要大于第一个不等式，这样只要满足了第一个不等式，

肯定满足第二个不等式，命题成立．

故有 a2-

1
2
≤a-b，且 a+b≤a2+
1
2
，0＜a≤
5
4
．

化简可得 b≤-a2+a+

1
2
，且b≤a2-a+
1
2
．

由于-a2+a+

1
2
=-(a-
1
2
)2+
3
4
∈[
3
16
，
3
4
]，故 b≤
3
16
．

由于 a2-a+

1
2
=(a-
1
2
)2+
1
4
∈[
1
4
，
13
16
]．故 b≤
1
4
．

综上可得 0＜b≤

3
16
．

考点：绝对值不等式
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