试题与答案

已知x，y均为正数，且x≠y，则下列四个数中最大的一个是（ ） A．12（1x+1

来源：www.tikuol.com
题型：选择题

题目：

已知x，y均为正数，且x≠y，则下列四个数中最大的一个是（　　）
A．
1
2
（
1
x
+
1
y
）		B．
1
x+y
C．
1
xy
D．
1
2(x2+y2)

答案：

先取x=1，y=2，得

1
2
(
1
x
+
1
y
)=
3
4
，
1
x+y
=
1
3
，
1
xy
=
2
2
，
1
2(x2+y2)
=
10
10

可得最大的数是

1
2
(
1
x
+
1
y
)，接下来加以证明

∵x，y均为正数，且x≠y，

∴x+y＞2

xy
，可得
1
x+y
＜
1
2
xy
＜
1
xy

∵x2+y2＞2xy，得2（x2+y2）＞4xy

∴

1
4xy
＞
1
2(x2+y2)
＞0，开方得
1
2
xy
＞
1
2(x2+y2)

因此，

1
xy
＞
1
2(x2+y2)

∵

1
2
(
1
x
+
1
y
)-
1
xy
=
(
x
-
y
)2
2xy
xy
＞0

∴

1
2
(
1
x
+
1
y
)＞
1
xy
，

综上所述，四个数中最大的一个是

1
2
(
1
x
+
1
y
)

故选A

考点：不等式的定义及性质
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