试题与答案

已知数列{an}中，a1=56，若以a1，a2，…，an为系数的二次方程an-1

来源：www.tikuol.com
题型：填空题

题目：

已知数列{an}中，a1=
5
6
，若以a1，a2，…，an为系数的二次方程an-1x2-anx+1=0（n∈N+，n≥2）都有根α，β且3α-αβ+3β=1，则{an}的前n项和Sn=______．

答案：

由题意，∵α+β=

an
an-1
，αβ=
1
an-1
代入3α-αβ+3β=1得an=
1
3
an-1+
1
3
，

∴

an-
1
2
an-1-
1
2
=
1
3
an-1+
1
3
-
1
2
an-1-
1
2
=
1
3
为定值．

∴数列{an-

1
2
}是等比数列．

∵a1-

1
2
=
5
6
-
1
2
=
1
3
，

∴an-

1
2
=
1
3
×（
1
3
）n-1=（
1
3
）n．

∴an=（

1
3
）n+
1
2
．

∴Sn=（

1
3
+
1
32
++
1
3n
）+
n
2
=
1
3
(1-
1
3n
)
1-
1
3
+
n
2
=
n+1
2
-
1
2×3n
．

故答案为：Sn=

n+1
2
-
1
2×3n

考点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
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