数列an的前n项和为Sn，Sn=2an-3n（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列an+3

答案：

（Ⅰ）因为S_n=2a_n-3n，所以S_n+1=2a_n+1-3（n+1），

则a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，所以a_n+1=2a_n+3，

an+1+3

an+3

=2，

数列a_n+3是等比数列，a₁=S₁=3，a₁+3=6，a_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，

所以a_n=3•2ⁿ-3．

（Ⅱ）bn=

n

3

an=n•2n-n，T_n=2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ-（1+2++n），

令T_n^′=2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ，①2T_n^′=2²+2•2³+3•2⁴++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②

①-②得，-T_n^′=2+2²++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=-2（1-2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹，T_n^′=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，

所以Tn=(n-1)•2n+1+2-

1

2

n(n+1)．

（Ⅲ）设存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差数列，则2a_p=a_s+a_r，即2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3

即2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，2^p-s+1，2^r-s为偶数，而1+2^r-s为奇数，

所以2^p+1=2^s+2^r不成立，故不存在满足条件的三项．