题目：
已知抛物线C的顶点在原点，经过点A（1，2），其焦点F在y轴上，直线y=kx+2交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行．
答案：
依题意，设抛物线C的方程为y=ax2，
（Ⅰ）∵点A（1，2）在抛物线C上，∴a=1．
∴抛物线C的方程为y=2x2．…（4分）
（Ⅱ）如图，设A（x1，2x12），B（x2，2x22），
把y=kx+2代入y=2x2得：2x2-kx-2=0，
由韦达定理得：x1+x2=
，x1x2=-1，∴xN=xM=k 2
=x1+x2 2
，k 4
即N点的坐标为（
，k 4
）．…（8分）k2 8
设抛物线在点N处的切线l的方程为y-
=m（x-k2 8
），k 4
将y=2x2代入上式得：2x2-mx+
-mk 4
=0，k2 8
∵直线l与抛物线C相切，所以△=m2-8（
-mk 4
）=m2-2mk+k2=（m-k）2=0，k2 8
∴m=k，即l∥AB．…（12分）
