试题与答案

椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（-1，0）、

来源：www.tikuol.com
题型：解答题

题目：

椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），O是坐标原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且△AOB的面积为
5
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（4，0）作与x轴不重合的直线l与C交于相异两点M、N，交y轴于Q点，证明
|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
为定值，并求这个定值．

答案：

（Ⅰ）依题意得

a2-b2
=1
1
2
ab=
5
…（3分）

解得

a2=5
b2=4
，故椭圆C的方程为
x2
5
+
y2
4
=1．…（5分）

（Ⅱ）证明：依题意可设直线l的方程为x=ky+4…（6分）

由

x=ky+4
4x2+5y2=20
，消去x可得（4k2+5）y2+32ky+44=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（0，y3），则

y1+y2=
-32k
4k2+5
y1y2=
44
4k2+5
…（8分）

又由直线l的方程x=ky+4知y3=-

4
k

由三角形的相似比得

|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
=
|y3|
|y1|
+
|y3|
|y2|
=
|y3|(|y1|+|y2|)
|y1y2|

注意到y1y2＞0，

∴|y1|+|y2|=|y1+y2|

∴

|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
=
|y3|×|y1+y2|
|y1y2|
=
4
|k|
×
32|k|
4k2+5
44
4k2+5
=
32
11

故

|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
为定值
32
11
．…（12分）

考点：圆锥曲线综合
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