试题与答案

设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过M（2，2），N（6，1）两点，

来源：www.tikuol.com
题型：解答题

题目：

设椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过M（2，
2
），N（
6
，1）两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且
OA 
⊥
OB 
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由．

答案：

（1）椭圆E过M、N

∴

4
a2
+
2
b2
=1
6
a2
+
1
b2
=1
∴
a2=8
b2=4
∴椭圆E：
x2
8
+
y2
4
=1（5分）

（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，由

y=kx+m
x2
8
+
y2
4
=1

∴（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0

当△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0

x1+x2=-
4km
1+2k2
x1x2=
2m2-8
1+2k2
y1y2=( kx1+m ) ( kx2+m )=k2x1x2+km ( x1+x2)+m2=
m2-8k2
1+2k2
，要使
OA 
⊥
OB 

∴x1x2+y1y2=0∴

2m2-8
1+2k2
+
m2-8k2
1+2k2
=0

∴3m2-8k2-8=0∴k2=

3m2-8
8
≥0

又 8k2-m2+4＞0∴

m2＞2
3m2≥8
∴m2≥
8
3
∴m≥
2
6
3
 或 m≤-
2
6
3

又y=kx+m与圆心在原点的圆相切

∴r=

|m|
1+k2
，即r2=
m2
1+k2
=
m2
1+
3m2-8
8
=
8
3
，r=
2
6
3

∴所求圆：x2+y2=

8
3

当切线斜率不存在时，切线为x=±

2
6
3
，与椭圆
x2
8
+
y2
4
=1交于（
2
6
3
，±
2
6
3
）

或（-

2
6
3
，±
2
6
3
），满足
OA 
⊥
OB 

综上：存在这样的圆x2+y2=

8
3
满足条件 （9分）

∵|AB| =

1+k2
|x1-x2| =
32 (4k4+5k2+1)
3 (4k4+4k2+1)
=
32
3
( 1+
k2
4k4+4k2+1
 )

当k≠0时，|AB|=

32
3
(1+
1
4k2+
1
k2
+4
)

∴

4
6
3
＜ |AB| ≤2
3
（当k=±
2
2
时取等）

当k=0时，|AB| =

4
3
6

当k不存时，|AB| =

4
3
6

∴|AB| ∈[ 

4
3
6
 ，  2
3
 ]（12分）

考点：圆锥曲线综合
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题型：单项选择题

阅读下面短文，回答26-30题。
第一步就是明确爱是一种艺术，正如生活是一种艺术一样。 (①) 我们想知道如何爱， (②) 必须遵循我们学习其他任何艺术的同样方法，诸如学习音乐、绘画、木工或医学技艺及工程艺术的方法。
在学习任何一种艺术时，必要的步骤是什么呢
学习任何一种艺术的过程都能够适当地分为两个方面：一方面精通那门艺术的理论，另一方面熟悉那门艺术的实践。如果我想学习医学技艺，我必须首先了解人体结构和各种疾病，但当我具备了这一方面的全部理论知识时．根本不意味着我在医学技艺上是合格的。只有在大量实践的基础上，把我们的理论知识成果和我们的实践成果融为一体，即变为我的直觉——这是任何一门艺术的要素——之后，我在技艺上才变得精湛起来。当然除学习那门艺术的理论和实践外，为驾驭任何一门艺术，第三点也是必要的要素，即要使艺术精湛必须极其关心这一问题，在我的心中必须是：没有什么比此艺术更重要的事情。
这适用于音乐、医学、木工和爱的艺术。这里有着为什么在当代的文明中，人们很少尝试探究爱这门艺术的答案，尽管他们明显地失败，尽管他们对爱如饥似渴，但却又认为几乎每一件事都比爱重要：成就、名望、金钱、权利——几乎人们的所有精力都被用来研究如何实现这些目标，难怪乎没有谁来学习爱的艺术。

根据原文所给的信息，以下判断不正确的一项是( )。

A．“孔子读《易》次数之多，竟把编联简册的编绳翻断了多次。”《易》，指的是《周易》，春秋时期即已传世

B．“我们把汉人写的‘韦编’读作‘纬编’是合乎汉人的用字常理的”句中的“汉人”指的是汉族人，因为当时少数民族还没有使用简册

C．本文作者对“韦”字做出了新的解释，但这并没有改变成语“韦编三绝”的含义

D．汉字是一种表意文字。人们借助于汉字表意的特性，在文献考证中，常能有新的发现
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