题目：
已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=
（Ⅰ）证明：当λ≠-18时，数列{bn}是等比数列； （Ⅱ）设Sn为数列{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有Sn＞-12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由． |
答案：
（Ⅰ）证明：假设存在一个实数，使{an}是等比数列，则有a22=a1a2，即
（
λ-3）2=λ(2 3
λ-4)⇔4 9
λ2-4λ+9=4 9
λ2-4λ⇔9=0，矛盾．4 9
所以{an}不是等比数列．
（Ⅱ）证明：∵bn+1=(-1)n+1[aa+1-3{n+1}+21]=(-1)n+1(
an-2n+14)2 3
=-
(-1)，(an-3n+21)=-2 3
bn.2 3
λ≠-18，∴b1=-（λ+18）≠0．
由上式知bn≠0，∴
=-bn+1 bn
(n∈Nn)，2 3
故当λ≠-18，时，数列{bn}是以-（λ+18）为首项，-
为公比的等比数列．2 3
（Ⅲ）当λ≠-18时，由（Ⅱ）得bn=-(λ+18)•(-
)n-1，2 3
于是Sn=-
(λ+18)•[1-(-3 5
)n]，2 3
当λ=-18时，bn=0，从而Sn=0．上式仍成立．
要使对任意正整数n，都有Sn＞-12．
即-
(λ+18)•[1-(-3 5
)n]＞12⇔λ2 3
-18.20 1-(-
)n2 3
令f(n)=1-(-
)n，则2 3
当n为正奇数时，1＜f(n)≤
：当n为正偶数时，5 3
≤f(n)＜1，∴f(n)的最大值为f(1)=5 9
.5 3
于是可得λ＜20×
-18=-6.3 5
综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有Sn＞-12；λ的取值范围为（-∞，-6）．
