题目：
如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°．
（1）证明直线AB必过一定点；
（2）求△AOB面积的最小值．
答案：
证明：（1）设OA所在直线的方程为y=kx（k≠0），则直线OB的方程为y=-
x，1 k
由
解得y=kx y2=2x
或x=0 y=0 x= 2 k2 y= 2 k
即A点的坐标为（
，2 k2
）．2 k
同样由
解得B点的坐标为（2k2，-2k）．y=-
x1 k y2=2x
∴AB所在直线的方程为y+2k=
（x-2k2），
+2k2 k
-2k22 k2
化简并整理，得（
-k）y=x-2．1 k
不论实数k取任何不等于0的实数，当x=2时，恒有y=0．
故直线过定点P（2，0）．
（2）解 由于AB所在直线过定点P（2，0），所以可设AB所在直线的方程为x=my+2．
由
消去x并整理得y2-2my-4=0．x=my+2 y2=2x
∴y1+y2=2m，y1y2=-4．
于是|y1-y2|=
=(y1-y2)2
=(y1+y2)2-4y1y2
=2(2m)2+16
．m2+4
S△AOB=
×|OP|×（|y1|+|y2|）1 2
=
|OP|•|y1-y2|=1 2
×2×21 2
=2m2+4
．m2+4
∴当m=0时，△AOB的面积取得最小值为4．
