题目：
设数列{an}为等比数列，数列{bn}满足bn=na1+（n-1）a2+…+2an-1+an，n∈N*，已知b1=m，b2=
（Ⅰ）求数列{an}的首项和公比； （Ⅱ）当m=1时，求bn； （Ⅲ）设Sn为数列{an}的前n项和，若对于任意的正整数n，都有Sn∈[1，3]，求实数m的取值范围． |
答案：
（Ⅰ）由已知b1=a1，
所以a1=m
b2=2a1+a2，
所以2a1+a2=
m，3 2
解得a2=-
，m 2
所以数列{an}的公比q=-
．1 2
（Ⅱ）当m=1时，an=(-
)n-1，1 2
bn=na1+（n-1）a2++2an-1+an①，
-
bn=na2+(n-1)a3++2an+an+1②，1 2
②-①得
-
bn=-n+a2+a3++an+an+13 2
所以-
bn=-n+3 2
=-n--
[1-(-1 2
)n]1 2 1-(-
)1 2
[1-(-1 3
)n]，1 2
bn=
+2n 3
-2 9
(-2 9
)n=1 2 6n+2+(-2)1-n 9
（Ⅲ）Sn=
=m[1-(-
)n]1 2 1-(-
)1 2
•[1-(-2m 3
)n]1 2
因为1-(-
)n＞0，1 2
所以，由Sn∈[1，3]得
≤1 1-(-
)n1 2
≤2m 3
，3 1-(-
)n1 2
注意到，当n为奇数时1-(-
)n∈(1，1 2
]，3 2
当n为偶数时1-(-
)n∈[1 2
，1)，3 4
所以1-(-
)n最大值为1 2
，最小值为3 2
．3 4
对于任意的正整数n都有
≤1 1-(-
)n1 2
≤2m 3
，3 1-(-
)n1 2
所以
≤4 3
≤2，2≤m≤3．2m 3
即所求实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}．
