试题与答案

设f(x)=(x+1x)2（x＞0）．（1）求f（x）的反函数f-1（x）（2）

来源：www.tikuol.com
题型：解答题

题目：

设f(x)=(
x+1
x
)2（x＞0）．
（1）求f（x）的反函数f-1（x）
（2）若x≥2时，不等式(x-1)f-1(x)＞a(a-
x
)恒成立，求实数a的取值范围．

答案：

（1）∵y=(

x+1
x
)2=(1+
1
x
)2（x＞0）∴y＞1（2分）

由原式有：

x+1
x
=
y
∴x+1=
y
x

∴x=

1
y
-1
（2分）

∴f-1(x)=

1
x
-1
x∈（1，+∞）（2分）

（2）∵(x-1)f-1(x)＞a(a-

x
)

∴(x-1)

1
x
-1
＞a(a-
x
)（x＞0）

∴(

x
+1)(
x
-1)
1
x
-1
＞a(a-
x
)

∴

x
+1＞a2-a
x

∴(a+1)

x
＞a2-1（2分）

①当a+1＞0即a＞-1时

x
＞a-1对x≥2恒成立-1＜a＜
2
+1

②当a+1＜0即a＜-1时

x
＜a-1对x≥2恒成立

∴a＞

2
+1此时无解（3分）

综上-1＜a＜

2
+1-（1分）

考点：函数的奇偶性、周期性反函数
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