试题与答案

已知抛物线C1：y2=2px的准线经过双曲线C2：x2a2-y2b2=1的左焦点

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题型：解答题

题目：

已知抛物线C1：y2=2px的准线经过双曲线C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的左焦点，若抛物线C1与双曲线C2的一个交点是M(
2
3
，
2
6
3
)．
（1）求抛物线C1的方程；
（2）求双曲线C2的方程．

答案：

（1）把交点M(

2
3
，
2
6
3
)代入抛物线C1：y2=2px得
24
9
=2p×
2
3
，解得p=2，∴抛物线C1的方程是y2=4x．

（2）∵抛物线y2=4x的准线方程是x=-1，

∴双曲线C2：

x2
a2
-
y2
b2
=1的左焦点是（-1，0）．

设双曲线C2的方程为

x2
a2
-
y2
1-a2
=1，

把交点M(

2
3
，
2
6
3
)代入，得
4 
9a2
-
24
9(1-a2)
=1，整理得9a4-37a2+4=0．

解得a2=

1
9
，或a2=4（舍去）．

∴b2=1-

1
9
=
8
9
．

∴双曲线C2的方程是

x2
1
9
-
y2
8
9
=1．

考点：双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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