已知函数f（x）=ln（ex+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数（1）求k的值

答案：

（1）因为函数f（x）=ln（e^x+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数，

所以f（-0）=-f（0）即f（0）=0，

则ln（e⁰+k）=0解得k=0，

显然k=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；

（2）由（1）得f（x）=x所以g（x）=λx+sinx，g'（x）=λ+cosx，

因为g（x） 在[-1，1]上单调递减，∴g'（x）=λ+cosx≤0  在[-1，1]上恒成立，

∴λ≤-1，g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1，

只需-λ-sin1≤t²+λt+1（λ≤-1），

∴（t+1）λ+t²+sin1+1≥0（λ≤-1）恒成立，

令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1（λ≤-1）

则

t+1≤0 h(-1)=-t-1+t2+sin1+1≥0

解得t≤-1

（3）由（1）得f（x）=x

∴方程转化为

lnx

x

=x²-2ex+m，令F（x）=

lnx

x

（x＞0），G（x）=x²-2ex+m  （x＞0），（8分）

∵F'（x）=

1-lnx

x2

，令F'（x）=0，即

1-lnx

x2

=0，得x=e

当x∈（0，e）时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，e）上为增函数；

当x∈（e，+∞）时，F'（x）＜0，F（x）在（e，+∞）上为减函数；（9分）

当x=e时，F（x）_max=F（e）=

1

e

（10分）

而G（x）=（x-e）²+m-e²   （x＞0）

∴G（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数；（11分）

当x=e时，G（x）_min=m-e²（12分）

∴当m-e2＞

1

e

，即m＞e2+

1

e

时，方程无解；

当m-e2=

1

e

，即m=e2+

1

e

时，方程有一个根；

当m-e2＜

1

e

，即m＜e2+

1

e

时，方程有两个根；（14分）