试题与答案

已知直线x=3与双曲线C：x29-y24=1的渐近线交于E1，E2两点，记OE1

来源：www.tikuol.com
题型：填空题

题目：

已知直线x=3与双曲线C：
x2
9
-
y2
4
=1的渐近线交于E1，E2两点，记
OE1
=
e1
，
OE2
=
e2
，任取双曲线上的点P，若
OP
=a
e1
+b
e2
（a，b∈R），则下列关于a，b的表述：
①4ab=1②0＜a2+b2＜
1
2
③a2+b2≥1④a2+b2≥
1
2
⑤ab=1
其中正确的是______．

答案：

双曲线C：

x2
9
-
y2
4
=1的渐近线方程为y=±
2
3
x，

将直线x=3代入y=±

2
3
x，可得E1（3，2），E2（3，-2）．

∵

OE1
=
e1
，
OE2
=
e2
，

∴

e1
=（3，2），
e2
=（3，-2），

∴

OP
=a
e1
+b
e2
=（3a+3b，2a-2b），

∴P（3a+3b，2a-2b），

∵P是双曲线C：

x2
9
-
y2
4
=1的点，

∴

(3a+3b)2
9
-
(2a-2b)2
4
=1，

∴（a+b）2-（a-b）2=1，

∴4ab=1，∴①正确；

∵a2+b2≥2ab=

1
2
，∴④正确；

故答案为：①④．

考点：双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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