题目：
已知定义在R的函数f(x)=
（Ⅰ）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数； （Ⅱ）设f（x）是奇函数，求a与b的值； （Ⅲ）当f（x）是奇函数时，证明对任何实数x、c都有f（x）＜c2-3c+3成立． |
答案：
（Ⅰ）f(x)=
，f(1)=-2x+1 2x+1+1
=--2+1 22+1
，f(-1)=1 5
=-
+11 2 2
，1 4
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函数；（2分）
（Ⅱ）f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），
即
=--2-x+a 2-x+1+b
对任意x∈R恒成立．（4分）-2x+a 2x+1+b
化简整理得（2a-b）•22x+（2ab-4）•2x+（2a-b）=0对任意x∈R恒成立．（6分）
∴
，∴2a-b=0 2ab-4=0
（舍）或a=-1 b=-2
，∴a=1 b=2
．（8分）a=1 b=2
另∵f（x）是定义在R的奇函数，∴
，，f(0)=0 f(-1)+f(1)=0
∴
，验证满足，∴a=1 b=2
．a=1 b=2
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：f(x)=
=--2x+1 2x+1+2
+1 2
，1 2x+1
∵2x＞0，∴2x+1＞1，
∴0＜
＜1，从而-1 2x+1
＜f(x)＜1 2
；（12分）1 2
而c2-3c+3=(c-
)2+3 2
≥3 4
＞3 4
对任何实数c成立；1 2
所以对任何实数x、c都有f（x）＜c2-3c+3成立．（14分）
