试题与答案

从椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左

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题型：解答题

题目：

从椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线AB∥OM．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求∠F1QF2的取值范围；
（3）过F1作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|=3，求椭圆的方程．

答案：

（1）由已知可设M（-c，y），

则有

(-c)2
a2
+
y2
b2
=1．

∵M在第二象限，∴M（-c，

b2
a
）．

又由AB∥OM，可知kAB=kOM．

∴-

b2
ac
=-
b
a
．∴b=c．∴a=
2
b．

∴e=

c
a
=
2
2
．

（2）设|F1Q|=m，|F2Q|=n，

则m+n=2a，mn＞0．|F1F2|=2c，a2=2c2，

∴cos∠F1QF2=

m2+n2-4c2
2mn
=
(m+n)2-2mn-4c2
2mn
=
4a2-4c2
2mn
-1=
a2
mn
-1≥
a2
(
m+n
2
)2
-1=
a2
a2
-1=0．

当且仅当m=n=a时，等号成立．

故∠F1QF2∈[0，

π
2
]．

（3）∵CD∥AB，kCD=-

b
a
=-
2
2
．

设直线CD的方程为y=-

2
2
（x+c），

即y=-

2
2
（x+b）．

消去y，整理得

y=-

2
2
（x+b）．

则

x2
a2
+
y2
b2
=1，

（a2+2b2）x2+2a2bx-a2b2=0．

设C（x1，y1）、D（x2，y2），∵a2=2b2，

∴x1+x2=-

2a2b
a2+2b2
=-
4b3
4b2
=-b，

x1•x2=-

a2b2
a2+2b2
=-
2b4
4b2
=-
b2
2
．

∴|CD|=

1+k2
|x1-x2|

=

1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2

=

1+(-
2
2
)2
•
(-b)2+2b2
=
9
2
b2
=3．

∴b2=2，则a2=4．

∴椭圆的方程为

x2
4
+
y2
2
=1．

考点：直线与椭圆方程的应用圆锥曲线综合
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