试题与答案

已知数列{an}满足：a1=2，且an+1=2-1an，n∈N*．（1）设bn=

来源：www.tikuol.com
题型：解答题

题目：

已知数列{an}满足：a1=2，且an+1=2-
1
an
，n∈N*．
（1）设bn=
1
an-1
，求证：{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设cn=an+
1
an
，求证：2n＜c1+c2+…+cn＜2n+1，n∈N*．

答案：

（1）∵a1=2，且an+1=2-

1
an
，n∈N*．

∴a2=2-

1
2
=
3
2
，

a3=2-

2
3
=
4
3
，

a4=1-

3
4
=
5
4
，

…

猜想an=

n+1
n
．

用数学归纳法进行证明：

①a1=

2
1
=2，成立．

②假设n=k时，成立，即ak=

k+1
k
，

则当n=k+1时，ak+1=2-

1
ak
=2-
k
k+1
=
k+2
k+1
，成立．

由①②知，an=

n+1
n
．

∵bn=

1
an-1
，

∴bn+1-bn=

1
an+1-1
-
1
an-1

=

1
1-
1
an
-
1
1-
1
an-1

=

1
1-
n
n+1
-
1
1-
n-1
n

=（n+1）-n=1，

∴数列{bn}是等差数列．

（2））∵a1=2，且an+1=2-

1
an
，n∈N*．

∴a2=2-

1
2
=
3
2
，

a3=2-

2
3
=
4
3
，

a4=1-

3
4
=
5
4
，

…

猜想an=

n+1
n
．

用数学归纳法进行证明：

①a1=

2
1
=2，成立．

②假设n=k时，成立，即ak=

k+1
k
，

则当n=k+1时，ak+1=2-

1
ak
=2-
k
k+1
=
k+2
k+1
，成立．

由①②知，an=

n+1
n
．

（3）∵cn=an+

1
an
，an=
n+1
n
，

∴cn=

n+1
n
+
n
n+1
= 2+
1
n
 -
1
n+1
，

∴c1+c2+…+cn=2n+（1-

1
2
）+（
1
2
-
1
3
）+…+（
1
n
-
1
n+1
）

=2n+1-

1
n+1
＜2n+1．

∵c1+c2+…+cn=2n+（1-

1
2
）+（
1
2
-
1
3
）+…+（
1
n
-
1
n+1
）

=2n+1-

1
n+1
=2n+
n
n+1
＞2n．

∴2n＜c1+c2+…+cn＜2n+1，n∈N*．

考点：等差数列的定义及性质数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
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