试题与答案

已知函数f(x)=2-1x，a1=32，an+1=f（an）（n∈N*）．（1）

来源：www.tikuol.com
题型：解答题

题目：

已知函数f(x)=2-
1
x
，a1=
3
2
，an+1=f（an）（n∈N*）．
（1）计算a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式（不用证明）；
（2）试证明：对任意n∈N*，a1，an，
1
an
不可能成等差数列．

答案：

（1）由已知可得数列{an}的递推公式为，an+1=f（an）=2-

1
an

求得a2=

4
3
，a3=
5
4
，a4=
6
5

猜想an=

n+2
n+1
(n∈N*)

（2）假设存在m∈N*，使得a1，am，

1
am
成等差数列，则a1+
1
am
=2am，

即

3
2
+
m+1
m+2
=2×
m+2
m+1
，即
5m+8
2(m+2)
=
2(m+2)
m+1

所以m2-3m-8=0，该方程没有正整数解，所以假设不成立，

所以对任意n∈N*，a1，an，

1
an
不可能成等差数列．

考点：等差数列的定义及性质
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