题目：
数列{an}满足a1=a，an+1=
（Ⅰ）若an+1=an，求a的值； （Ⅱ）当a=
（Ⅲ）设数列{an-1}的前n项之积为Tn．若对任意正整数n，总有（an+1）Tn≤6成立，求a的取值范围． |
答案：
（Ⅰ）因为an+1=an，所以an=
，解得an=an+3 2
或an=-1（舍去）．3 2
由n的任意性知，a1=a=
．（3分）3 2
（Ⅱ）反证法：
假设an≥
，则3 2
≥3+an-1 2
，得an-1≥3 2
，3 2
依此类推，an-2≥
，，a2≥3 2
，a1≥3 2
，与a1=3 2
矛盾．1 2
所以an＜
．（8分）3 2
（Ⅲ）由已知，当n≥2时，2an2=an-1+3，2（an2-1）=an-1+1，2（an-1）（an+1）=an-1+1，
所以2(an-1)=
．an-1+1 an+1
同理2(an-1-1)=
，2(a3-1)=an-2+1 an-1+1
，2(a2-1)=a2+1 a3+1
．a1+1 a2+1
将上述n-1个式子相乘，得2n-1(a2-1)(a3-1)(an-1-1)(an-1)=
，a1+1 an+1
即2n-1×
=Tn a1-1
，(an+1)Tn=a1+1 an+1
．
-1a 21 2n-1
所以
≤6对任意n≥2恒成立．a12-1 2n-1
又n=1时，（a1+1）（a1-1）=a12-1≤6，
故a12≤6×2n-1+1对任意n∈N*恒成立．
因为数列{6×2n-1+1}单调递增，所以a12≤6×1+1=7，
即a的取值范围是[-
，7
]．（14分）7
