（Ⅰ）已知函数f(x)=xx+1．数列{an}满足：an＞0，a1=1，且an+

答案：

（Ⅰ）因为

an+1

=f(

an

)=

an

an +1

，

所以

1

an+1

=

1

an

+1，

即

1

an+1

-

1

an

=1，

1

an

=1+(n-1)=n，

即an=

1

n2

．（4分）

因为Sn=

2

2

[

1

an

+(

2

+1)n]=

2

2

n2+(1+

2

2

)n，

当n=1时，S1=b1=

2

+1，

当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=1+

2

 n，

所以bn=

2

 n+1(n∈N*)．（6分）

又因为b4+b6=4

2

+1+6

2

+1=10

2

+2，

所以令bt=10

2

+2 (t∈N*)，

则10

2

+2=

2

t+1；

得到t=10+

2

2

与t∈N^*矛盾，

所以b₄+b₆不在数列{b_n}中．（8分）

（Ⅱ）充分性：若存在整数m≥-1，使c₁=md．

设c_r，c_t为数列{c_n}中不同的两项，

则c_r+c_t=c₁+（r-1）d+c₁+（t-1）d=c₁+（r+m+t-2）d=c₁+[（r+m+t-1）-1]d．

又r+t≥3且m≥-1，所以r+m+t-1≥1．

即c_r+c_t是数列{c_n}的第r+m+t-1项．（11分）

必要性：若数列{c_n}中任意不同两项之和仍为数列{c_n}中的项，

则c_s=c₁+（s-1）d，c_t=c₁+（t-1）d，

（s，t为互不相同的正整数）

则c_s+c_t=2c₁+（s+t-2）d，令c_s+c_t=c_l，

得到2c₁+（s+t-2）d=c₁+（l-1）d（n，t，s∈N^*），

所以c₁=（l-s-t+1）d，

令整数m=l-s-t+1，所以c₁=md． （14分）

下证整数m≥-1

若设整数m＜-1，则-m≥2．令k=-m，

由题设取c₁，c_k使c₁+c_k=c_r（r≥1）

即c₁+c₁+（k-1）d=c₁+（r-1）d，

所以md+（-m-1）d=（r-1）d

即rd=0与r≥1，d≠0相矛盾，所以m≥-1．

综上，数列{c_n}中任意不同两项之和仍为数列{c_n}中的项的充要条件是存在整数m≥-1，使c₁=md．（16分）