题目：
| 已知数列{an}满足条件（n-1）an+1=（n+1）（an-1），a2=6，令bn=an+n（n∈N*） （Ⅰ）写出数列{bn}的前四项； （Ⅱ）求数列{bn}的通项公式，并给出证明； （Ⅲ）是否存在非零常数p，q，使得数列{
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答案：
（Ⅰ）在∵（n-1）an+1=（n+1）（an-1），中，
由∴a1=1，a3=15．a4=28；
∴b1=2，b2=8，b3=18，b4=32
（Ⅱ）由（1）知b1=2×12，b2=2×22，b3=2×32，b4=2×42
．由此猜测bn=2n2．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时猜想显然成立；
②假设n=k（k≥2）猜想成立，即bk=2k2，则有ak=2k2-k，
根据题意，得（k-1）ak+1=（k+1）（ak-1）=（k+1）（2k2-k-1），解出ak+1=（k+1）（2k+1），
于是bk+1=ak+1+k+1=（k+1）（2k+1）+（k+1）=2（k+1）2，
，即当n=k+1时猜想也成立．
综合①②得对于所有n∈N*都有bn=2n2
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，an=2n2-n，
假设存在非零常数p，q，使得数列{
}成等差数列，设其公差为d，an pn+q
令cn=
=an pn+q
，则有cn=c1+（n-1）d=dn+c1-d，2n2-n pn+q
从而
=dn+c1-d，2n2-n pn+q
化简得：2n2-n=dpn2+[dq+p（c1-d）]n+q（c1-d）．
所以有
，dp=2 dq+p(c1-d)=-1 q(c1-d)=0
∵q≠0
∴c1=d∴dq=-1
∴
=-2p q
故存在满足关系p=-2q的非零常数p，q，使得数列{
}成等差数列an pn+q
