题目：
已知函数F（x）=2x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若不等式g（2x）+ah（x）≥0对∀x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是______．
答案：
由F（x）=g（x）+h（x）即2x=g（x）+h（x）①，得2-x=g（-x）+h（-x），
又g（x），h（x）分别为偶函数、奇函数，所以2-x=g（x）-h（x）②，
联立①②解得，g（x）=
，h（x）=2x+2-x 2
．2x-2-x 2
g（2x）+ah（x）≥0，即
+a•22x+2-2x 2
≥0，也即（22x+2-2x）+a（2x-2-x）≥0，即（2x-2-x）2+2+a（2x-2-x）≥0，2x-2-x 2
令t=2x-2-x，∵x∈[1，2]，∴t∈[
，3 2
]，则不等式变为t2+2+at≥0，15 4
所以不等式g（2x）+ah（x）≥0对∀x∈[1，2]恒成立，等价于t2+2+at≥0对t∈[
，3 2
]恒成立，也即a≥-t-15 4
对t∈[2 t
，3 2
]恒成立，15 4
令y=-t-
，t∈[2 t
，3 2
]，则y′=-1+15 4
=2 t2
＜0，所以y=-t-2-t2 t2
在[2 t
，3 2
]上递减，15 4
所以ymax=-
-3 2
=-2 3 2
，所以a≥-17 6
．17 6
故答案为：a≥-
．17 6
