试题与答案

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e

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题型：解答题

题目：

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．
（Ⅰ）若e=
3
2
，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且
2
2
＜e≤
3
2
，求k的取值范围．

答案：

（Ⅰ）由题意得

c=3
c
a
=
3
2
，得a=2
3
．（2分）

结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．（3分）

所以，椭圆的方程为

x2
12
+
y2
3
=1．（4分）

（Ⅱ）由

x2
a2
+
y2
b2
=1
y=kx
得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

所以x1+x2=0，x1x2=

-a2b2
b2+a2k2
，（6分）

依题意，OM⊥ON，

易知，四边形OMF2N为平行四边形，

所以AF2⊥BF2，（7分）

因为

F2A
=(x1-3，y1)，
F2B
=(x2-3，y2)，

所以

F2A
•
F2B
=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0．（8分）

即

-a2(a2-9)(1+k2)
a2k2+(a2-9)
+9=0，（9分）

将其整理为k2=

a4-18a2+812
-a4+18a2
=-1-
81
a4-18a2
．（10分）

因为

2
2
＜e≤
3
2
，所以2
3
≤a＜3
2
，12≤a2＜18．（11分）

所以k2≥

1
8
，即K∈(-∞，-
2
4
]∪[
2
4
，+∞)．（13分）

考点：椭圆的标准方程及图象圆锥曲线综合
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