试题与答案

已知：中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是（0，-5），离心率为32（1）

来源：www.tikuol.com
题型：解答题

题目：

已知：中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是（0，-
5
），离心率为
3
2

（1）求：椭圆方程；（2）若直线y=
1
2
x+m与椭圆相交于A、B两点，椭圆的左右焦点分别是F1和F2，求：以F1F2和AB为对角线的四边形F1AF2B面积的最大值．

答案：

（1）设中心在原点，长轴在x轴上的椭圆方程：

x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）

∵椭圆的一个顶点是(0，-

5
)∴b=
5

∵离心率为e=

c
a
=
3
2
c=
3
2
a

∵a2=b2+c2，∴a2=20，b2=5

∴椭圆方程：

x2
20
+
y2
5
=1

（2）椭圆方程：

x2
20
+
y2
5
=1

∴左右焦点为F1(-

15
，0)，F2(
15
，0)，F1F2=2
15

联立方程

y=
1
2
x+m
x2
20
+
y2
5
=1
整理可得，2y2-2my+m2-5=0

∵直线与椭圆相交于A、B两点，∴△=4m2-8（m2-5）＞0，即：-

10
＜m＜
10
，且y1+y2=m，y1y2=
m2-5
2

由题知：以F1F2和AB为对角线的四边形F1AF2B面积S=

1
2
|F1F2||y1-y2|=2
15
(y1+y2)2-4y1y2
×
1
2
=
15
10-m2
≤5
6

考点：椭圆的标准方程及图象圆锥曲线综合
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综合填空。
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