试题与答案

已知圆C：（x+2）2+y2=24，定点A（2，0），M为圆C上一动点，点P在A

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题型：解答题

题目：

已知圆C：（x+2）2+y2=24，定点A（2，0），M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上（C为圆心），且满足
.
AM
= 2
.
AP
，
.
NP
-
.
AM
=0，设点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点B（m，0）作倾斜角为
5
6
π的直线l交曲线E于C、D两点．若点Q（1，0）恰在以线段CD为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

答案：

（1）由

AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，知NP为AM的中垂线，

∴|

NA
| =|
NM
|，∴|
NA
| +|
NC
| =|
NM
| +|
NC
| =2
6
＞4=|
AC
|，

∴N的轨迹是椭圆，c=2，a=

6
，即N的轨迹方程是
x2
6
+
y2
2
=1．

（2）由题意，l的方程是y=

3
3
(x-m)，

设C（x1，y1），D（x2，y2），

由

y=-
3
3
(x-m)
x2
6
+
y2
2
=1
，消去y，整理得：2x2-2mx+m2-6=0，

由△＞0⇒4m2-4×2（m2-6）＞0⇒-2

3
＜m＜2
3
，

∴x1+x2=m，x1x2=

m2-6
2
，

又点Q（1，0）在以线段CD为直径的圆内，得

QC
•
QD
＜0，

∴（x1-1，y1）•（x2-1，y2）＜0，

x1x2-(x1+x2)+1+(-

3
3
)2(x1-m)(x2-m)＜0，

∴

4
3
x1x2-(1+
1
3
m) (x1+x2)  +
1
3
m2+1＜0，

∴2m2-3m-9＜0，

即-

3
2
＜m＜3．

综上所述，m的取值范围(-

3
2
，3)．

考点：椭圆的标准方程及图象
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