试题与答案

在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m=（cosA，sinA）

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题型：解答题

题目：

在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量
m
=（cosA，sinA），
n
=（
2
-sinA，cosA），若|
m
+
n
|=2．（1）求角A的大小；（2）若b=4
2
，且C=
2
a，求△ABC的面积．

答案：

（Ⅰ）∵

m
+
n
=(
2
+cosA-sinA，cosA+sinA)

∴|

m
+
n
|2=(
2
+cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2

=2+2

2
(cosA-sinA)+(cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2

=2+2

2
(cosA-sinA)+2=4-4sin(A-
π
4
)

∵|

m
+
n
|=2∴4-4sin(A-
π
4
)=4sin(A-
π
4
)=0

又∵0＜A＜π∴-

π
4
＜A-
π
4
＜
3π
4
∴A-
π
4
=0，

∴A=

π
4

（Ⅱ）由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA，又b=4

2
，c=
2
a，A=
π
4
，得

a2=32+2a2-2×4

2
×
2
a•
2
2
，

即a2-8

2a
+32=0，解得a=4
2
∴c=8

∴

S △ABC
=
1
2
b•csinA=
1
2
×4
2
×8×sin
π
4
=16

S △ABC
=
1
2
×(4
2
)2=16

考点：余弦定理
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